Dando continuidade ao post anterior, vou agora discutir a implicação da distribuição de Poisson no cálculo de herança dos genes dos seus avós. Mas, antes disso, vou fazer um exercício simples de herança genética em duas gerações.
Vamos pensar no heredograma abaixo:
O gameta paterno que te formou possui exatamente 50% (23) dos cromossomos do seu pai.
O gameta materno que te formou possui exatamente 50% (23) dos cromossomos da sua mãe.
Portanto, se pudermos definir você pela origem dos seus cromossomos, podemos dizer com tranquilidade que:
Da mesma forma, a regra se aplica aos seus pais:
Mãe = 50% Avô M, 50% Avó M
Vamos dizer que sua avó paterna nasceu na Itália e, portanto, você gostaria de dizer "eu sou 25% italiano". Não é possível afirmar isso. Para entender isso, observe os esquemas abaixo:
Os gametas dos seus pais possuirão uma seleção aleatória dentre os genes que eles possuem dos seus avós. A probabilidade teórica de um gameta do seu pai possuir somente 100% de cromossomos de origem do seu avô paterno (A, B, C, D, ..., W) é de:
$P(23) = \LARGE{\frac{1}{2^{23}}}$
Sim, é uma chance absurdamente rara, mas existe (uma a cada 8 milhões), bem como existe uma chance de você ser 50% italiano (igualmente raríssima). OK... agora vem a parte legal. Quando consideramos a existência do crossover, essas porcentagens mudam bastante. De fato, o próprio conceito de cromossomo de origem "paterna" ou "materna" deve ser trabalhado novamente, pois nesse evento de recombinação, cada cromossomo passa a ser composto de uma porcentagem paterna e uma porcentagem materna. Então para efeito desta discussão, vou considerar que um cromossomo seja de origem paterna caso o seu centrômero seja de origem paterna.
Pois bem, cada cromossomo tem um tamanho em centimorgans (cM). Um cM é a distância entre dois pontos em um cromossomo que apresenta, em média, 0,01 crossovers por geração. De forma equivalente, 100 cM é a distância entre dois pontos em um cromossomo que apresenta, em média, 1 crossover por geração e 250 cM é a distância que apresenta, em média, 2,5 crossovers por geração. Curiosidade: os gametas femininos promovem 1,7x mais crossovers que os gametas masculinos (ver referência).
Existem dados que indicam o tamanho de cada cromossomo, em cM, que varia de 281,5 (cromossomo 1) a 70,1 (cromossomo 21). No genoma humano, em média, somam-se 3587 cM (excluindo-se os cromossomos sexuais), o que equivale a cerca de 163 cM por autossomo.
Aproximadamente, a cada geração, cada autossomo humano realiza 1,6 crossovers.
Agora veja a situação hipotética abaixo:
Vamos por partes. Primeiro vejamos o que ocorreu aí. Trata-se da segregação independente do cromossomo 1 ao longo de duas gerações. Se tivéssemos usado o nosso conhecimento básico de segregação (sem recombinação), não seria possível herdar ao mesmo tempo o cromossomo 1 de todos os seus avós. Considerando a alta probabilidade de recombinação no cromossomo 1 (em média 2,81 crossovers por geração), é muito comum que você herde pelo menos algum fragmento do cromossomo 1 de cada um dos seus avós. Contudo, no esquema acima isso não ocorreu. De fato, apresentei uma situação em que não foi herdado nenhum fragmento do cromossomo 1 da avó paterna. Isso ocorreu porque não houve nenhum evento de recombinação durante a gametogênese do pai. Por isso, para saber qual é essa probabilidade basta utilizar a fórmula da distribuição de Poisson no cenário de nenhuma ocorrência de recombinações.
$P(k) = \LARGE{\frac{e^{-\lambda}.\lambda^k}{k!}}$
$P(0) = \LARGE{\frac{e^{-2,8}.\lambda^0}{0!}}$
$P(0) = {0,058}$
5,8% de chance de isso ocorrer. Ou seja, utilizando uma extrapolação grosseira, a cada 17 (100/5,8) pessoas no mundo, uma delas não possui nehum fragmento de cromossomo 1 de um dos avós paternos. É relativamente incomum, mas acontece. Agora, e o contrário? Qual é a probabilidade de uma pessoa carregar pelo menos um fragmento de cromossomo 1 de todos os seus quatro avós? Basta calcular a probabilidade de ocorrer um crossover na mãe E um crossover no pai.
Ocorrência de pelo menos um crossover na mãe:
$P(\geqslant{1}) = 1 - P(0)$
$P(\geqslant{1}) = 1 - 0,058$
$P(\geqslant{1}) = 0,942$
Para a ocorrência disso nos dois pais, multiplicamos essa probabilidade por ela mesma:
$P(ambos) = 0,942.0,942 = 0,887$
Portanto, em média 89% das pessoas carrega pelo menos alguma marca dos quatro avós no par de cromossomos 1.
Agora podemos tentar responder à dúvida do início do post: será que, no cenário apresentado, você realmente poderia ser 0% italiano?
Para que você seja 0% italiano, algumas condições precisam ser cumpridas:
- O seu pai (filho da avó italiana) não pode ter realizado crossover em nenhum dos seus cromossomos
- O gameta paterno que lhe deu origem foi fruto de uma segregação independente que selecionou apenas os cromossomos do seu avô paterno
Para calcular isso, partirei do pressuposto de que a frequência média de recombinações por cromossomo, em gametas masculinos, é de 1,22 por geração. Assim...
Probabilidade de zero recombinações em um cromossomo, elevado à 23° potência:
$P(0) = e^{-1,22}$
$P(0) = 0,295$
$P(0)^{23} = 6,5.10^{-13}$
Probabilidade de um gameta selecionar somente os cromossomos do avô paterno por segregação independente (conforme acima):
$P(23) = 1,19.10^{-7}$
Probabilidade de ambos os eventos ocorrerem simultaneamente:
$P(23).P(0) = 7,7.10^{-20}$
Em toda a história da humanidade, estima-se que existiram 107 bilhões de seres humanos (1,1.10^11 pessoas desde 50.000 a.C). Portanto, estatisticamente, é muito provável que, na história da humanidade, nunca tenha havido um caso de um neto de italiano que não tivesse pelo menos alguma porcentagem de italiano em seus genes!